傅里叶变换（Fourier Transform）和拉普拉斯变换（Laplace Transform）都是数学中的积分变换，它们在工程和物理学中有着广泛的应用。

傅里叶变换主要用于信号处理领域，特别是在频域分析中。它能够将一个时间域信号转换为频域信号，分解成多个正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频率成分和幅度。这对于理解和处理周期性信号非常有用，例如在音频处理、图像处理和通信系统中。

拉普拉斯变换则更多地用于控制系统和电子学领域。它可以将时间域的信号转换为复频域的函数，这使得我们能够对信号进行全面的分析和处理。拉普拉斯变换提供了一种标准方法来求解微分方程、估计系统的稳定性以及设计控制系统。它也常用于处理具有阻尼的系统中的信号，以及在航空航天、汽车工程等领域的建模和分析。

简而言之，傅里叶变换适用于频域分析和周期性信号处理，而拉普拉斯变换适用于连续信号的整体分析、微分方程求解和控制系统设计。两者虽然在数学形式上有所不同，但都是强大的工具，用于将复杂的信号转换为更易于分析和处理的形式。

定义

傅里叶变换

$$
\mathcal{F} \left[f(t) \right] = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t \qquad \omega \in \mathbb{R}
$$

存在的充分条件：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{d}t$ 绝对可积。

傅里叶逆变换：

$$
\mathcal{F}^{-1} \left[F(\omega)\right] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega
$$

拉普拉斯变换

$$
\mathcal{L} \left[f(t) \right] = \int_0^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t \qquad s \in \mathbb{C}
$$

存在的充分条件：存在两个常数 $K>0$，$c \ge 0$，使得对所有的 $t \ge 0$，有 $\left | f(t) \right | \le K\mathrm{e}^{ct}$
$F(s) = \mathcal{L} \left[f(t) \right]$ 在 $\mathrm{Re}s > c$ 上有意义。

特别地，当$f(t)$中存在奇异函数时，本文规定拉氏变换采用“$0 _-$”定义方式：

$$
\mathcal{L} \left[f(t) \right] = \int_{0 _-}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t
$$

拉普拉斯逆变换：

$$
\mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\right] = \frac{1}{2\pi i}\int_{\beta -i\infty}^{\beta +i\infty}F(s)\mathrm{e}^{st}\mathrm{d}s \qquad \beta > c , t>0
$$

区别

对函数的要求不同，傅里叶变换要求$f(t)$绝对可积，拉普拉斯变换只要求$f(t)$是增长指数型，拉氏变换的适用条件更广。
积分区间不同，傅里叶变换从$-\infty$积分到$+\infty$，（单边）拉普拉斯变换从$0$积分到$+\infty$。

性质

共性

	傅里叶变换 $F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right]$	拉普拉斯变换 $F(s)=\mathcal{L}\left[f(t)\right]$
线性	$\mathcal{F}\left[\alpha f(t)+\beta g(t) \right] = \alpha \mathcal{F}\left[f(t)\right] + \beta \mathcal{F}\left[g(t)\right]$	$\mathcal{L}\left[\alpha f(t)+\beta g(t) \right] = \alpha \mathcal{L}\left[f(t)\right] + \beta \mathcal{L}\left[g(t)\right]$
时域微分	$\mathcal{F}\left[f’(t)\right] = i\omega F(\omega)$	$\mathcal{L}\left[f’(t)\right] = sF(s) - f(0)$
频域微分	$\mathcal{F}^{-1}\left[F’(\omega)\right] = -itf(t)$	$\mathcal{L}^{-1}\left[F’(s)\right] = -tf(t)$
时域积分	$\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^t f(\tau)\mathrm{d}\tau\right] = \frac{F(\omega)}{i\omega}+\pi F(0)\delta(\omega)$	$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)\mathrm{d}\tau \right] = \frac{F(s)}{s}$
频域积分	$\mathcal{F}^{-1}\left[\int_{-\infty}^{\omega}F(u)\mathrm{d}u\right] = \frac{if(t)}{t} + \pi f(0)\delta (t)$	$\mathcal{L}^{-1}\left[\int_s^{+\infty}F(u)\mathrm{d}u\right] = \frac{f(t)}{t}$
频移(位移)	$\mathcal{F}\left[f(t)\mathrm{e}^{i\omega _0 t} \right] = F(\omega - \omega _0)$	$\mathcal{L}\left[f(t)\mathrm{e}^{at} \right] = F(s-a)$
时移(延迟)	$\mathcal{F}\left[f(t-t _0)\right] = F(\omega)\mathrm{e}^{-i\omega t _0}$	$\mathcal{L}\left[f(t-t _0)u(t-t _0)\right] = F(s)\mathrm{e}^{-st _0} , t _0>0$
尺度变换	$\mathcal{F}\left[f(at)\right] = \frac{1}{\left\|a\right\|}F(\frac{\omega}{a})$	$\mathcal{L}\left[f(at)\right] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$ , $a>0$
时域卷积	$\mathcal{F}\left[(f _1\ast f _2)(t)\right] = F _1(\omega)F _2(\omega)$	$\mathcal{L}\left[(f _1\ast f _2)(t)\right] = F _1(s)F _2(s)$
频域卷积	$\mathcal{F}\left[f _1(t)f _2(t)\right] = \frac{1}{2\pi}F _1(\omega)\ast F _2(\omega)$	$\mathcal{L}\left[f _1(t)f _2(t)\right] = \frac{1}{2\pi i}\int _{\beta -i\infty}^{\beta +i\infty}F _1(p)F _2(s-p)\mathrm{d}p$

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个性

傅里叶变换

对称性
$F(\omega) = \mathcal{F}\left[f(t)\right] \Rightarrow 2\pi f(-\omega) = \mathcal{F}\left[F(t)\right]$
奇偶虚实性（奇变偶不变）
- $f(t)$为实、偶函数 $\Rightarrow F(\omega)$ 为实、偶函数
- $f(t)$为实、奇函数 $\Rightarrow F(\omega)$ 为虚、奇函数
- $f(t)$为虚、偶函数 $\Rightarrow F(\omega)$ 为虚、偶函数
- $f(t)$为虚、奇函数 $\Rightarrow F(\omega)$ 为实、奇函数

拉普拉斯变换

初值定理
若 $\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，$\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} \right]$ 存在，且 $F(s)$ 为真分式，则
$$
\lim _{t \to 0 _+}f(t) = \lim _{s \to \infty}sF(s)
$$
若 $F(s)$ 为假分式，可以拆分成真分式 $F _1(s)$ 与多项式 $P(s)$ 的和，即 $F(s) = F _1(s) + P(s)$，同样有
$$
\lim _{t \to 0 _+}f(t) = \lim _{s \to \infty}sF _1(s)
$$
终值定理
若 $\mathcal{L}\left[f(t)\right]=F(s)$，$\mathcal{L}\left[\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} \right]$ 存在，且 $\lim _{t \to \infty}f(t)$ 存在，则
$$
\lim _{t \to \infty}f(t) = \lim _{s \to 0}sF(s)
$$
说明：仅当 $F(s)$ 在$s$平面的虚轴上及其右边（原点除外）都解析，并且在原点处至多有一阶极点时，终值定理才可用。

一些常用函数的变换

冲激函数 $\delta (t)$
- Fourier
  $$
  \mathcal{F}\left[\delta (t)\right] = 1
  $$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L}\left[\delta (t)\right] = 1
  $$
阶跃函数 $u(t)$
- Fourier
  $$
  \mathcal{F}\left[u(t)\right] = \pi \delta (\omega) + \frac{1}{i\omega}
  $$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L}\left[u(t)\right] = \frac{1}{s}
  $$
指数函数 $\mathrm{e}^{-at}$
- Fourier
  $$
  \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-at}u(t)\right] = \frac{1}{a+i\omega}
  $$
  $$
  \mathcal{F}\left[\mathrm{e}^{-a \left | t\right |}\right] = \frac{2a}{a^2 + \omega ^2}
  $$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L}\left[\mathrm{e}^{-at}\right] = \frac{1}{s+a}
  $$
矩形脉冲信号 Gate Function
- Fourier
  $$
  \mathcal{F}\left[EG _{\tau}(t)\right] = E\tau \mathrm{Sa}(\frac{\omega \tau}{2})
  $$
钟形脉冲信号
- Fourier
  $$
  \mathcal{F}\left[E\mathrm{e}^{-(\frac{t}{\tau})^2} \right] = \sqrt{\pi}E\tau \mathrm{e}^{-(\frac{\omega \tau}{2})^2}
  $$
正弦函数 $\sin(\omega _1t)$
- Fourier
  $$
  \mathcal{F} \left[\sin(\omega _1t) \right] = i\pi \delta(\omega+\omega _1)-i\pi \delta(\omega-\omega _1)
  $$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L} \left[\sin(\omega _1t) \right] = \frac{\omega _1}{s^2+\omega _1^2}
  $$
余弦函数 $\cos(\omega _1t)$
- Fourier
  $$
  \mathcal{F} \left[\cos(\omega _1t) \right] = \pi \delta(\omega+\omega _1)+\pi \delta(\omega-\omega _1)
  $$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L} \left[\cos(\omega _1t) \right] = \frac{s}{s^2+\omega _1^2}
  $$
幂函数 $t^n$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L}\left[t^n \right] = \frac{n!}{s^{n+1}}
  $$
双曲正弦函数 $\sinh(at)$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L}\left[\sinh(at)\right] = \frac{a}{s^2-a^2}
  $$
双曲余弦函数 $\cosh(at)$
- Laplace
  $$
  \mathcal{L}\left[\cosh(at)\right] = \frac{s}{s^2-a^2}
  $$