1788年，伟大的物理学家拉格朗日发表了名为《分析力学》的著作，全书旨在用分析的方法，不用一张图地处理所有力学问题。无图挺好的，就是学不会罢了。相比之下，牛顿力学用向量的方法分析问题，虽然更加直观，但并不能很好地处理非自由系统。一个问题中的约束越多，牛顿力学越繁杂，分析力学反而越简单。如今，分析力学已经形成了一个力学的专门分支，在工程技术、天体力学、理论物理等方面均有应用。本文将从曲线坐标的概念开始，一步步地将拉格朗日方程推导出来。
$\require{physics}$
爱因斯坦求和约定
在进入正题之前，有必要对爱因斯坦求和做一个阐释，因为这在理论推导中特别常用，本文也会反复用到这一约定，其对简化书写有着极大的帮助（绝对不是因为懒）。
对于一个方程组
$$
\begin{cases}
y _1 = a _{11}x^1 +a _{12}x^2+a _{13}x^3+a _{14}x^4 \\
y _2 = a _{21}x^1 +a _{22}x^2+a _{23}x^3+a _{24}x^4 \\
y _3 = a _{31}x^1 +a _{32}x^2+a _{33}x^3+a _{34}x^4 \\
y _4 = a _{41}x^1 +a _{42}x^2+a _{43}x^3+a _{44}x^4
\end{cases}
$$
数学家一般会将其化简为矩阵形式
$$
\left[\begin{matrix}
y _1 \\ y _2 \\ y _3 \\ y _4
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
a _{11} & a _{12} & a _{13} & a _{14} \\
a _{21} & a _{22} & a _{23} & a _{24} \\
a _{31} & a _{32} & a _{33} & a _{34} \\
a _{41} & a _{42} & a _{43} & a _{44}
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
x^1 \\ x^2 \\ x^3 \\ x^4
\end{matrix}\right]
$$
进一步，写成求和的形式
$$
y _i = \sum _{j=1}^4 a _{ij} x^j \qquad (i=1,2,3,4)
$$
而爱因斯坦将简化做得更加极值，求和符号也不要了
$$
y _i = a _{ij} x^j
$$
其中 $j$ 在乘积式里一上一下出现两次，这样的指标叫哑指标，规定自动对其求和，这就是爱因斯坦求和约定。指标 $i$ 不进行求和，称为自由指标。表示哑指标的字母可以任意替换，但不能与自由指标重复。
曲线坐标
坐标基与坐标分量
对于三维空间中的任意矢量 $\vb{r}$，将其写作三个独立标量的函数
$$
\begin{equation}
\vb{r}=\vb{r}(q^1,q^2,q^3)
\label{eq:r的定义}
\end{equation}
$$
据此定义三个对应的基矢量
$$
\begin{equation}
\vb{e} _i = \pdv{\vb{r}}{q^i} \quad (i=1,2,3)
\label{eq:对逆变分量偏导}
\end{equation}
$$
于是 $\vb{r}$ 可以用三个基矢量的线性组合表示而成
$$
\begin{equation}
\vb{r} = q^i \vb{e} _i
\label{eq:r协变基分解}
\end{equation}
$$
由于 $q^1,q^2,q^3$ 相互独立，将$\eqref{eq:r协变基分解}$对 $q^i$ 求偏导，可以验证$\eqref{eq:对逆变分量偏导}$。
对于笛卡尔坐标系，求矢量的某个坐标分量，只需要将该矢量与对应坐标基做点积。但在一般坐标系中，这条性质并不成立，因为坐标基之间不一定正交，基矢量的长度也不一定为1。所以接下来我们需要引入逆变基。
称指标在下的 $\vb{e} _i$ 为协变基，将逆变基 $\vb{e}^i$ 的指标写在上方，且定义如下
$$
\begin{equation}
\vb{e}^i \vdot \vb{e} _j = \delta _j^i \quad (i,j=1,2,3)
\label{eq:定义逆变基}
\end{equation}
$$
$$
\delta _j^i = \begin{cases}
1, \quad i=j \\
0, \quad i \ne j
\end{cases}
$$
若不额外规定，后文中所有自由指标的取值范围和哑指标的求和范围都默认为{1,2,3}，不再重复声明。
对于 $\vb{e}^1$ 来说，$\vb{e}^1 \vdot \vb{e} _2 = \vb{e}^1 \vdot \vb{e} _3 = 0$，说明 $\vb{e}^1$ 落在与 $\vb{e} _2$ 和 $\vb{e} _3$都垂直的直线上，而且受到 $\vb{e}^1 \vdot \vb{e} _1 = 1$ 的限制，可见 $\vb{e}^1$ 是能够唯一确定的，$\vb{e}^2$ 和 $\vb{e}^3$ 也是如此。
将 $\vb{r}$ 与一个逆变基做点积，可以发现得到的结果正是其在协变基下的坐标分量
$$
\begin{align}
\vb{r} \vdot \vb{e} ^i &= q^j\vb{e} _j \vdot \vb{e}^i \notag \\
&= q^j \delta _i^j \notag \\
&= q^i
\label{eq:点乘逆变基}
\end{align}
$$
即 $q^i = \vb{r} \vdot \vb{e}^i$，于是根据$\eqref{eq:r协变基分解}$，把 $q^i$ 称作 $\vb{r}$ 在协变基 $\vb{e} _i$ 下的逆变分量。
同样，$\vb{r}$ 也可以用逆变基 $\vb{e}^i$ 的线性组合来表示，写作
$$
\begin{equation}
\vb{r} = q _i \vb{e}^i
\label{eq:逆变基分解}
\end{equation}
$$
$q _i$称为 $\vb{r}$ 在逆变基 $\vb{e}^i$ 下的协变分量。其同样具有
$$
\begin{equation}
\vb{e}^i = \pdv{\vb{r}}{q _i}
\label{eq:对协变分量偏导}
\end{equation}
$$
和
$$
\begin{equation}
q _i = \vb{r} \vdot \vb{e} _i
\label{eq:点乘协变基}
\end{equation}
$$
的性质。根据$\eqref{eq:定义逆变基}$式点积和克罗内克符号的对称性，不难发现协变基与逆变基之间存在对偶关系。
至于规定把协变基 $\vb{e} _i$ 和协变分量 $q _i$ 的指标写下方，逆变基 $\vb{e}^i$ 和逆变分量 $q^i$ 的指标写上方，遵循“上逆下协”的原则，可以更规范地套用爱因斯坦求和约定。
度量矩阵
既然协变基和逆变基是两组基矢量，那么两者之间一定存在一种线性变换关系，也意味着协变分量和逆变分量之间存在线性变换。
规定一个矩阵 $\vb{G}$
$$
\vb{G} = \begin{bmatrix}
g _{11} & g _{12} & g _{13} \\
g _{21} & g _{22} & g _{23} \\
g _{31} & g _{32} & g _{33}
\end{bmatrix}
$$
且 $\vb{G}$ 将 $\vb{r}$ 的逆变分量变换为 $\vb{r}$ 的协变分量。
$$
\begin{equation}
q _i = g _{ij}q^j
\label{eq:逆变分量变协变分量}
\end{equation}
$$
代入$\eqref{eq:点乘逆变基}$和$\eqref{eq:点乘协变基}$
$$
\begin{align*}
\vb{r} \vdot \vb{e} _i &= g _{ij} \vb{r} \vdot \vb{e}^j \\
\vb{r} \vdot \vb{e} _i &= \vb{r} \vdot (g _{ij} \vb{e}^j)
\end{align*}
$$
由 $\vb{r}$ 的任意性
$$
\begin{equation}
\vb{e} _i = g _{ij}\vb{e}^j
\label{eq:逆变基变协变基}
\end{equation}
$$
左右点乘 $\vb{e} _k$，再根据$\eqref{eq:定义逆变基}$
$$
\begin{align*}
\vb{e} _i \vdot \vb{e} _k &= g _{ij}\vb{e} _j \vdot\vb{e}^k \\
\vb{e} _i \vdot \vb{e} _k &= g _{ij}\delta _j^k \\
\vb{e} _i \vdot \vb{e} _j &= g _{ij}
\end{align*}
$$
不难看出 $\vb{G}$ 是一个对称矩阵，$g _{ij}$ 是对应两个协变基的内积，它能将逆变分量变换成协变分量$\eqref{eq:逆变分量变协变分量}$，也能将逆变基变换成协变基$\eqref{eq:逆变基变协变基}$，因此可以直观地将 $g _{ij}$ 理解为指标下移的工具。这样的矩阵 $\vb{G}$ 称为协变度量矩阵。
同样定义逆变度量矩阵 $g^{ij}$，满足
$$
\begin{align*}
q^i &= g ^{ij}q _j \\
\vb{e}^i &= g^{ij}\vb{e} _j \\
g^{ij} &= \vb{e}^i \vdot \vb{e}^j
\end{align*}
$$
可见 $g _{ij}$ 具有指标上移的性质。
如果将协变度量矩阵与逆变度量矩阵做乘法，可以发现得到的结果是单位矩阵
$$
\begin{align*}
g _{ik} g^{kj} &= g _{ik} \vb{e}^k \vdot \vb{e}^j \\
&= \vb{e} _i \vdot \vb{e}^j \\
&= \delta _i^j
\end{align*}
$$
这意味着，协变度量矩阵与逆变度量矩阵为互逆关系，$\vb{G}=\qty[g _{ij}], \vb{G}^{-1}=\qty[g^{ij}]$。
度量矩阵可以方便地表达矢量的内积
$$
\begin{align*}
\vb{a} \vdot \vb{b} &= (a^i\vb{e} _i) \vdot (b^j \vb{e} _j) \\
&= a^i b^j g _{ij}
\end{align*}
$$
坐标变换
假设存在两组坐标基 $\vb{e} _i$ 与 $\vb{e} _{i’}$，以及对应的逆变坐标基 $\vb{e}^i$ 与 $\vb{e}^{i’}$，矢量 $\vb{r}$ 可分别表示成四组基的线性组合
$$
\begin{align*}
\vb{r} &= q^i \vb{e} _i \\
\vb{r} &= q _i \vb{e}^i \\
\vb{r} &= q^{i’} \vb{e} _{i’} \\
\vb{r} &= q _{i’} \vb{e}^{i’}
\end{align*}
$$
协变基之间存在这样的关系：
$$
\begin{align*}
\vb{e} _{i’} &= \pdv{\vb{r}}{q^{i’}} \\
&= \pdv{\vb{r}}{q^j} \pdv{q^j}{q^{i’}} \quad(j是哑指标)\\
&= \pdv{q^j}{q^{i’}} \vb{e} _j
\end{align*}
$$
逆变基之间存在这样的关系：
$$
\begin{align*}
\vb{e}^{i’} &= \pdv{\vb{r}}{q _{i’}} \\
&= \pdv{r}{q _j} \pdv{q _j}{q _{i’}} \\
&= \pdv{q _j}{q _{i’}}\vb{e}^j
\end{align*}
$$
这里的 $\pdv{q^j}{q^{i’}}$ 和 $\pdv{q _j}{q _{i’}}$ 都是 $3 \times 3$ 的变换矩阵，与 $\vb{r}$ 无关。
接下来导出 $\vb{r}$ 的协变坐标变换规律：
$$
\begin{align*}
q _{i’} &= \vb{r} \vdot \vb{e} _{i’} \\
&= (q _{j}\vb{e}^{j}) \vdot \vb{e} _{i’} \\
&= (q _{j}\vb{e}^{j}) \vdot (\pdv{q^k}{q^{i’}} \vb{e} _k) \\
&= \pdv{q^k}{q^{i’}}q _j \delta _k^j \\
&= \pdv{q^j}{q^{i’}}q _j
\end{align*}
$$
同理可得 $\vb{r}$ 的逆变坐标变换规律：
$$
q^{i’} = \pdv{q _j}{q _{i’}}q^j
$$
由此发现，协变基与协变坐标拥有一致的变换关系（左乘同一个矩阵 $\pdv{q^j}{q^{i’}}$），逆变基与逆变坐标有一致的变换关系（左乘同一个矩阵 $\pdv{q _j}{q _{i’}}$）。
克氏符号
克氏符号全称克里斯托费尔符号。空间中不同点的坐标基往往也不同，克氏符号的功能就是描述基矢量随空间位置的变化。
第一类克氏符号
先抛定义
$$
\Gamma _{i,jk} = \frac{1}{2}\left[\pdv{g _{ij}}{q^k}+\pdv{g _{ik}}{q^j}-\pdv{g _{jk}}{q^i} \right] \quad 其中 g _{ij} = \vb{e} _i \vdot \vb{e} _j
$$
$\Gamma _{i,jk}$ 有3个下标，意味着它含有27个项，这要全写出来可是很累的。从式中可以看出，克氏符号是由度量矩阵对空间坐标的偏导数定义的，可见它具有描述坐标基在空间中的某种变化的潜力。
事实上，坐标基对坐标的偏导具有对称性，即
$$
\pdv{\vb{e} _i}{q^j} = \pdv{\vb{r}}{q^i}{q^j} = \pdv{\vb{e} _j}{q^i}
$$
将 $\Gamma _{i,jk}$ 展开，可得
$$
\begin{align*}
\Gamma _{i,jk} &= \frac{1}{2}\left[\pdv{(\vb{e} _i \vdot \vb{e} _j)}{q^k}+\pdv{(\vb{e} _i \vdot \vb{e} _k)}{q^j}-\pdv{(\vb{e} _j \vdot \vb{e} _k)}{q^i} \right] \\
&= \frac{1}{2}\left[\vb{e} _i \vdot \pdv{\vb{e} _j}{q^k} + \vb{e} _j \vdot \pdv{\vb{e} _i}{q^k} + \vb{e} _i \vdot \pdv{\vb{e} _k}{q^j} + \vb{e} _k \vdot \pdv{\vb{e} _i}{q^j} - \vb{e} _j \vdot \pdv{\vb{e} _k}{q^i} - \vb{e} _k \vdot \pdv{\vb{e} _j}{q^i} \right] \\
&= \frac{1}{2}\left[\vb{e} _i \vdot (\pdv{\vb{e} _j}{q^k} + \pdv{\vb{e} _k}{q^j}) + \vb{e} _j \vdot (\pdv{\vb{e} _i}{q^k} - \pdv{\vb{e} _k}{q^i}) + \vb{e} _k \vdot (\pdv{\vb{e} _i}{q^j} - \pdv{\vb{e} _j}{q^i}) \right] \\
&= \frac{1}{2}\left[\vb{e} _i \vdot (\pdv{\vb{e} _j}{q^k} + \pdv{\vb{e} _k}{q^j}) \right] \\
&= \pdv{\vb{e} _j}{q^k} \vdot \vb{e} _i
\end{align*}
$$
因此 $\Gamma _{i,jk}(i=1,2,3)$ 是 $\pdv{\vb{e} _j}{q^k}$ 的协变坐标，于是可以写出
$$
\pdv{\vb{e} _j}{q^k} = \Gamma _{i,jk} \vb{e}^i
$$
第二类克氏符号
第二类克氏符号只是对第一类克氏符号进行指标上移的操作，即
$$
\Gamma _{jk}^l = g^{li}\Gamma _{i,jk}
$$
它的性质与第一类克氏符号十分类似：
$$
\begin{align*}
\Gamma _{jk}^l &= g^{li} \pdv{\vb{e} _j}{q^k} \vdot \vb{e} _i \\
&= \pdv{\vb{e} _j}{q^k} \vdot \vb{e}^l
\end{align*}
$$
以及
$$
\pdv{\vb{e} _j}{q^k} = \Gamma _{jk}^l \vb{e} _l
$$
矢量对时间的导数
有了克氏符号的工具后，我们可以借此来表达任意一个矢量对时间导数的计算公式。
根据协变基与逆变基的关系
$$
\vb{e} _i \vdot \vb{e}^j = \delta _i^j
$$
将等式两边对时间求导
$$
\dot{\vb{e}} _i \vdot \vb{e}^j + \vb{e} _i \vdot \dot{\vb{e}}^j = 0
$$
于是
$$
\begin{align*}
\dot{\vb{e}}^j \vdot \vb{e} _i &= -\dot{\vb{e}} _i \vdot \vb{e}^j \\
&= -\vb{e}^j \vdot \pdv{\vb{e} _i}{q^k}\dot{q}^k \\
&= -\vb{e}^j \vdot (\Gamma _{ik}^l \vb{e} _l)\dot{q}^k \\
&= -\Gamma _{ik}^j \dot{q}^k
\end{align*}
$$
所以
$$
\dot{\vb{e}}^j = -\Gamma _{ik}^j \dot{q}^k \vb{e}^i
$$
假设矢量 $\vb{c} = c _i \vb{e}^i$，那么其导数
$$
\begin{align*}
\dot{\vb{c}} &= \dot{c} _i \vb{e}^i + c _i \dot{\vb{e}}^i \\
&= \dot{c} _i \vb{e}^i - \Gamma _{ik}^j c _j \dot{q}^k \vb{e}^i
\end{align*}
$$
或者写作
$$
\dot{\vb{c}} \vdot \vb{e} _i = \dot{c} _i - \Gamma _{ik}^j c _j \dot{q}^k
$$
质点运动学
做了这么多数学上的铺垫，终于可以进入到跟力学比较沾边的部分了qwq。
质点的速度
一个质点的速度可以定义为其矢径对时间的导数，
$$
\begin{align*}
\vb{v} &= \dot{\vb{r}} \\
&= \pdv{\vb{r}}{q^i}\dot{q}^i \\
&= \dot{q}^i \vb{e} _i
\end{align*}
$$
所以 $\dot{q}^i$ 正是 $\vb{v}$ 的逆变分量，记作 $v^i = \dot{q}^i$。
由于 $\vb{e} _i$ 是 $q^i$ 的函数$\eqref{eq:对逆变分量偏导}$，将 $\vb{v}$ 视作 $q^i$ 和 $\dot{q}^i$ 的函数，$\vb{v} = \vb{v}(q^i, \dot{q}^i)$，那么
$$
\begin{align*}
\pdv{\vb{v}}{\dot{q}^i} &= \pdv{(\dot{q}^j\vb{e} _j)}{\dot{q}^i} \\
&= \pdv{\dot{q}^j}{\dot{q}^i}\vb{e} _j \\
&= \delta _j^i \vb{e} _j \\
&= \vb{e} _i
\end{align*}
$$
由此便导出了一个公式：
$$
\begin{equation}
\vb{e} _i = \pdv{\vb{v}}{\dot{q}^i} = \pdv{\vb{r}}{q^i}
\label{eq:速度}
\end{equation}
$$
质点的加速度
首先来计算一个引理
$$
\begin{align*}
\dv{t}(\pdv{\vb{v}}{\dot{q}^i}) &= \dv{t}(\pdv{\vb{r}}{q^i}) \\
&= \pdv{\vb{r}}{q^j}{q^i}\dot{q}^j \\
&= \pdv{q^i}(\pdv{\vb{r}}{q^j}\dot{q}^j) \\
&= \pdv{\vb{v}}{q^i}
\end{align*}
$$
定义加速度矢量 $\vb{a} = \dv{\vb{v}}{t}$，其协变分量为
$$
\begin{align}
a _i &= \vb{a} \vdot \vb{e} _i \notag \\
&= \dv{\vb{v}}{t} \pdv{\vb{v}}{\dot{q} ^i} \quad 利用\eqref{eq:速度} \notag \\
&= \dv{t}(\vb{v} \vdot \pdv{\vb{v}}{\dot{q}^i}) - \vb{v} \vdot \dv{t}(\pdv{\vb{v}}{\dot{q}^i}) \notag \\
&= \dv{t}(\pdv{(\frac{1}{2}v^2)}{\dot{q}^i}) - \vb{v} \vdot \pdv{\vb{v}}{q^i} \notag \\
&= \dv{t}(\pdv{(\frac{1}{2}v^2)}{\dot{q}^i}) - \pdv{(\frac{1}{2}v^2)}{q^i} \label{eq:加速度隐式}
\end{align}
$$
如果质点的质量为 $m$，质点的动能为 $T = \frac{1}{2}mv^2$，则$\eqref{eq:加速度隐式}$可化为
$$
\begin{equation}
ma _i = \dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}^i}) - \pdv{T}{q^i}
\label{eq:ma}
\end{equation}
$$
根据
$$
v^2 = (\dot{q}^j\vb{e} _j) \vdot (\dot{q}^k\vb{e} _k) = g _{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k
$$
对$\eqref{eq:加速度隐式}$进行显式展开
$$
\begin{align*}
a _i &= \dv{t}(\pdv{(\frac{1}{2}g _{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k)}{\dot{q}^i}) - \pdv{(\frac{1}{2}g _{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k)}{q^i} \\
&= \dv{t}(g _{ij}\dot{q}^j) - \frac{1}{2}\pdv{g _{jk}}{q^i}\dot{q}^j\dot{q}^k \\
&= g _{ij}\ddot{q}^j + \pdv{g _{ij}}{q^k}\dot{q}^k\dot{q}^j - \frac{1}{2}\pdv{g _{jk}}{q^i}\dot{q}^j\dot{q}^k \\
&= g _{ij}\ddot{q}^j + \frac{1}{2}(\pdv{g _{ij}}{q^k}+\pdv{g _{ik}}{q^j}-\pdv{g _{jk}}{q^i})\dot{q}^j\dot{q}^k \\
&= g _{ij}\ddot{q}^j + \Gamma _{i,jk}\dot{q}^j\dot{q}^k
\end{align*}
$$
上式左右同乘逆变度量矩阵，可以得到加速度的逆变分量
$$
\begin{align}
g^{ij}a _j &= g^{ij}(g _{jk}\ddot{q}^k + \Gamma _{j,kl}\dot{q}^k\dot{q}^l) \notag \\
a^i &= \ddot{q}^i + \Gamma _{kl}^i\dot{q}^k\dot{q}^l \label{eq:加速度显式}
\end{align}
$$
质点动力学
现在，离拉格朗日方程的导出已经近在咫尺了，加油奥利给！
第二类拉格朗日方程
根据牛顿第二定律 $m\vb*{a} = \vb{F}$，有
$$
m\vb*{a} \vdot \vb{e} _i = \vb{F} \vdot \vb{e} _i
$$
定义广义力
$$
Q _i = \vb{F} \vdot \vb{e} _i
$$
根据$\eqref{eq:ma}$，可以得到
$$
\begin{equation}
\dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}^i}) - \pdv{T}{q^i} = Q _i
\label{eq:lagrange2-1}
\end{equation}
$$
进一步，如果 $Q _i$ 是保守力，意味着它可以写成某个势函数的空间导数
$$
Q _i = -\pdv{V}{\dot{q}^i}
$$
那么$\eqref{eq:lagrange2-1}$可化为
$$
\dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}^i}) - \pdv{T}{q^i} = -\pdv{V}{\dot{q}^i}
$$
定义拉格朗日量 $L = T - V$，由于 $V$ 不是 $\dot{q}^i$ 的函数，上式可以修改为如下形式
$$
\begin{equation}
\dv{t}(\pdv{L}{\dot{q}^i}) - \pdv{L}{q^i} = 0
\label{eq:lagrange2-2}
\end{equation}
$$
$\eqref{eq:lagrange2-1}$和$\eqref{eq:lagrange2-2}$就是第二类拉格朗日方程的基本形式。可见分析力学可以从牛顿力学中导出，二者并非独立无关的，它们具有同样的适用范围，都属于“经典力学”的范畴。
代入$\eqref{eq:加速度显式}$可将动力学方程写成显式：
$$
m(\ddot{q}^i + \Gamma _{jk}^i \dot{q}^j\dot{q}^k) = Q^i
$$
上文中，我们假设的 $\vb{r}$ 仅仅是 $q^1,q^2,q^3$ 的函数$\eqref{eq:r的定义}$。事实上，如果坐标系随时间变化，那么 $\vb{r}$ 应该是 $q^1,q^2,q^3,t$ 的函数，但得到的结论是一致的，上文得出的拉格朗日方程$\eqref{eq:lagrange2-1}$和$\eqref{eq:lagrange2-2}$依然成立。
第一类拉格朗日方程
接下来我们将约束力写进方程中。假设质点受力分为主动力 $\vb{F}$ 和约束反力 $\vb{R}$，根据牛顿第二定律，有
$$
\begin{align*}
m\vb*{a} &= \vb{F} + \vb{R} \\
m\vb*{a} \vdot \vb{e} _i &= \vb{F} \vdot \vb{e} _i + \vb{R} \vdot \vb{e} _i \\
\end{align*}
$$
利用 $\eqref{eq:ma}$ 式，
$$
\dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}^i}) - \pdv{T}{q^i} = Q _i + \vb{R} \vdot \vb{e} _i
$$
下面考虑只有一个约束方程的情况，假设约束方程为 $f(q^1,q^2,q^3;t) = 0$，并且假设约束是光滑的，那么约束反力 $\vb{R}$ 势必与约束曲面相垂直，即
$$
\begin{align*}
&\vb{R} = \lambda \grad{f} = \lambda(\pdv{f}{x}\vb{i}+\pdv{f}{y}\vb{j}+\pdv{f}{z}\vb{k}) \\
&\vb{R} \vdot \vb{e} _i = \lambda(\pdv{f}{x}\vb{i}+\pdv{f}{y}\vb{j}+\pdv{f}{z}\vb{k}) \vdot (\pdv{x}{q^i}\vb{i}+\pdv{y}{q^i}\vb{j}+\pdv{z}{q^i}\vb{k}) = \lambda \pdv{f}{q^i}
\end{align*}
$$
从而便能导出第一类拉格朗日方程：
$$
\dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}^i}) - \pdv{T}{q^i} = Q _i + \lambda\pdv{f}{q^i}
$$
其中的 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。
对于多个约束力的情况，只需在方程右侧继续添加拉格朗日乘子即可。
例如存在两个约束方程 $f _1(q^1,q^2,q^3;t)=0, f _2(q^1,q^2,q^3;t)=0$，那么对应的第一类拉格朗日方程就写作
$$
\dv{t}(\pdv{T}{\dot{q}^i}) - \pdv{T}{q^i} = Q _i + \lambda _1\pdv{f _1}{q^i} + \lambda _2\pdv{f _2}{q^i}
$$
