什么是变分
$\require{physics}$
简单来说，变分可以理解为函数的一种变化。假设有一个函数 $y(x)$，该函数经过一个微小变化得到另一个函数 $\overline{y}(x)$，那么在相同的 $x$ 处两函数的差 $\var{y(x)} = \overline{y}(x) - y(x)$ 就称为该函数的等时变分。由于变化是微小的，可以用一个实数小量 $\epsilon$ 来描述 $y$ 和 $\overline{y}$ 之间的关系：
\begin{align}
\overline{y}(x) &= y(x) + \epsilon \eta (x) \notag \\
\var{y(x)} &= \epsilon \eta (x) \label{eps}
\end{align}
$\eta(x)$ 可以是任意的函数，取决于 $y$ 到 $\overline{y}$ 的变化方式。
等时变分的运算规则
假设 $u,v$ 是 $q,p,t$ 的函数，$q,p$ 是 $t$ 的函数，$t$ 是自变量。
展开式
$$
\var{u}=\pdv{u}{q}\var{q} + \pdv{u}{p}\var{p}
$$区别于全微分 $ \dd u = \pdv{u}{q}\dd q + \pdv{u}{p}\dd p + \pdv{u}{t}\dd t $，等时变分的 $t$ 不变
线性
$$
\var(u+v) = \var{u}+\var{v}
$$乘积法则
$$
\var(uv) = u\var{v}+v\var{u}
$$商法则
$$
\var(\frac{u}{v}) = \frac{v\var{u}-u\var{v}}{v^2}
$$变分与微分交换顺序
$$
\dd(\var{u}) = \var(\dd u)
$$变分与对时间求导交换顺序
$$
\dv{t}(\var{u}) = \var(\dv{u}{t})
$$变分与积分交换顺序
$$
\int _{t _1}^{t _2} \var{u}\dd t = \var{\int _{t _1}^{t _2}u\dd t}
$$
欧拉-拉格朗日方程
泛函 (functional)是从函数到实数的映射，算是一种广义的函数。
假设存在一个以 $y=y(x)$ 为自变函数的泛函
$$
J=J\qty[y(x)] = \int _{x _1}^{x _2}F(x,y,y’)\dd x
$$
且自变函数满足
$$
\var{y}(x _1) = 0, \quad \var{y}(x _2) = 0
$$
如果想知道当 $y(x)$ 为什么函数时 $J$ 取到极值，就需要用到欧拉-拉格朗日方程，即
$$
\var{J}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dv{x}(\pdv{F}{y’})-\pdv{F}{y}=0
$$
简要证明
假设 $y(x)$ 产生一个微小变化 $\var{y}$, 根据\eqref{eps} $\var{y}=\epsilon\eta$，并且有 $\eta(x _1) = \eta(x _2) = 0$，
于是
$$
\begin{align*}
J\qty[y+\var{y}] &= \int _{x _1}^{x _2}F(x,y+\epsilon\eta,y’+\epsilon\eta’)\dd x \\
&= \int _{x _1}^{x _2}\qty[F(x,y,y’)+\pdv{F}{y}\epsilon\eta+\pdv{F}{y’}\epsilon\eta’]\dd x
\end{align*}
$$
如果当 $y=y(x)$ 时 $J$ 取到极值，那么此时有 $\eval{\dv{J}{\epsilon}} _{\epsilon=0}=0$
由于
$$
\begin{align*}
\dv{J}{\epsilon} &= \int _{x _1}^{x _2}(\pdv{F}{y}\eta+\pdv{F}{y’}\eta’)\dd x \\
&= \int _{x _1}^{x _2}\pdv{F}{y}\eta\dd x + \eval{\pdv{F}{y’}\eta} _{x _1}^{x _2} - \int _{x _1}^{x _2}\eta\dv{x}(\pdv{F}{y’})\dd x \\
&= \int _{x _1}^{x _2}\qty[\pdv{F}{y}-\dv{x}(\pdv{F}{y’})]\eta\dd x
\end{align*}
$$
而且 $\eta(x)$ 可以是满足边界条件的任意函数，所以就能得出欧拉-拉格朗日方程：
$$
\dv{x}(\pdv{F}{y’})-\pdv{F}{y}=0
$$
最速降线
问题
设二维平面内存在两点 $A$ 和 $B$，$A$ 的坐标为 $(0,0)$，$B$ 的坐标为 $(x _0,y _0)$，一质点在沿 $y$ 方向重力加速度 $g$ 的作用下从 $A$ 无初速地沿一条光滑曲线自由滑行到 $B$，当曲线为什么形状时所用时间最短？
求解
假设曲线方程（质点轨迹方程）为 $y=y(x)$，质点运动的路程为 $s$，其微分
$$
\dd s = \sqrt{(\dd x)^2+(\dd y)^2} = \sqrt{1+(y’)^2}\dd x
$$
由机械能守恒可得质点的速率
$$
v = \sqrt{2gy}
$$
由于
$$
\dd t = \frac{\dd s}{v}
$$
总用时为
$$
T = \int _A^B\frac{\dd s}{v} = \int _0^{x _0}\frac{\sqrt{1+(y’)^2}}{\sqrt{2gy}}\dd x
$$
给定一个函数 $y(x)$，就能确定唯一的总用时，可见 $T$ 是一个泛函。
经观察可以发现，被积函数 $F(y,y’)=\frac{\sqrt{1+(y’)^2}}{\sqrt{2gy}}$ 是关于 $y,y’$ 的函数，而且 $y(x)$ 的左右边界是确定的，即 $\var{y}(0) = 0,\var{y}(x _0) = 0$，因此可以使用欧拉-拉格朗日方程来求当 $T$ 取极值时 $y(x)$ 的表达式。
根据欧拉-拉格朗日方程，
$$
\begin{align*}
\dv{x}(\pdv{F}{y’}) - \pdv{F}{y} &= 0 \\
\dv{x}(\frac{y’}{\sqrt{1+(y’)^2}\sqrt{2gy}}) + \frac{\sqrt{1+(y’)^2}}{2y\sqrt{2gy}} &= 0 \\
\dv{x}(\frac{y’}{\sqrt{1+(y’)^2}\sqrt{y}}) + \frac{\sqrt{1+(y’)^2}}{2y\sqrt{y}} &= 0 \\
1+2yy’’+(y’)^2 &= 0
\end{align*}
$$
令 $y’=u,y’’=\dv{u}{x}=\dv{u}{y}\dv{y}{x}=u\dv{u}{y}$，代入上式
$$
\begin{align*}
1+2yu\dv{u}{y}+u^2 &= 0 \\
\frac{2u\dd u}{1+u^2} &= -\frac{\dd y}{y} \\
\ln(1+u^2) &= -\ln(y) + \ln(C _1) \\
u &= \pm \sqrt{\frac{C _1-y}{y}}
\end{align*}
$$
由于 $y>0, \dv{y}{x}>0$，取 $u = \dv{y}{x} = \sqrt{\frac{C _1-y}{y}}$
再令 $y=C _1\sin^2\theta, 0 \le \theta \le \theta _0 \le \frac{\pi}{2}$，则
$$
\frac{2C _1\sin\theta\cos\theta\dd\theta}{\dd x} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
$$
解得
$$
\begin{cases}
x = C _2 + \frac{C _1}{2}(2\theta-\sin 2\theta)\\
y = \frac{C _1}{2}(1-\cos 2\theta) \label{ansy}
\end{cases}
$$
假设 $\theta=0$ 时 $(x,y)=(0,0)$，$\theta = \theta _0$ 时 $(x,y)=(x _0,y _0)$，代入边界条件得
$$
\begin{cases}
C _2 = 0 \\
\frac{C _1}{2}(2\theta _0-\sin 2\theta _0) = x _0 \\
\frac{C _1}{2}(1-\cos 2\theta _0) = y _0
\end{cases}
$$
从中求出 $C _1, C _2, \theta _0$ 后，便可将曲线方程确定出来，这样的曲线即为从 $A$ 到 $B$ 的最速降线。
