拉格朗日公式从微分的角度描述了质点系运动的规律，哈密顿原理则给出了积分形式的运动规律表述，两者互相等价。本文将从动力学普遍方程出发，简单地推导哈密顿原理的表达形式。
动力学普遍方程
动力学普遍方程 又称 拉格朗日形式的达朗伯原理 (d’Alembert principle)，是一个关于非自由质点动力学的原理。该定理阐明，对于 $n$ 个质点的质点系，所有主动力与惯性力（达朗伯惯性力）在任意虚位移上所做的虚功之和为零。
$$
\require{physics}
\sum _{i=1}^n (\vb{F} _i - m _i \ddot{\vb{r}} _i) \cdot \var{\vb{r}}_i = 0
$$
哈密顿原理的推导
对于 $n$ 质点的质点系，其动能为
$$
T = \sum _{i=1}^n \frac{1}{2}m _i v _i^2 = \sum _{i=1}^n \frac{1}{2}m _i \dot{\vb{r}} _i^2
$$
将动力学普遍方程的主动力项与惯性力项分开
$$
\begin{align}
\sum _{i=1}^n m _i \ddot{\vb{r}} _i \cdot \var{\vb{r}} _i &= \sum _{i=1}^n \vb{F} _i \cdot \var{\vb{r}} _i \notag \\
\sum _{i=1}^n \qty[\dv{t}(m _i \dot{\vb{r}} _i) \cdot \var{\vb{r}} _i] &= \sum _{i=1}^n \vb{F} _i \cdot \var{\vb{r}} _i \label{1}
\end{align}
$$
对等式左边做一个类似分部积分的变换
$$
\begin{align}
\sum _{i=1}^n \qty[\dv{t}(m _i \dot{\vb{r}} _i) \cdot \var{\vb{r}} _i] &= \sum _{i=1}^n \dv{t}(m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i) - \sum _{i=1}^n m _i\dot{\vb{r}} _i \cdot \dv{t}\var{\vb{r}} _i \notag \\
&= \sum _{i=1}^n \dv{t}(m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i) - \sum _{i=1}^n m _i\dot{\vb{r}} _i \cdot \var{\dot{\vb{r}}} _i \notag \\
&= \sum _{i=1}^n \dv{t}(m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i) - \var \sum _{i=1}^n \frac{1}{2} m _i\dot{\vb{r}} _i^2 \notag \\
&= \sum _{i=1}^n \dv{t}(m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i) - \var T \label{2}
\end{align}
$$
根据 $\eqref{1}$ 和 $\eqref{2}$
$$
\var T + \sum _{i=1}^n \vb{F} _i \cdot \var{\vb{r}} _i = \sum _{i=1}^n \dv{t}(m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i)
$$
假设系统 $t _1$ 时刻的初态和 $t _2$ 时刻的终态确定，将等式两边从 $t _1$ 到 $t _2$ 进行积分
$$
\int _{t _1}^{t _2} (\var T + \sum _{i=1}^n \vb{F} _i \cdot \var{\vb{r}} _i) \dd t = \eval{\sum _{i=1}^n (m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i)} _{t _1}^{t _2}
$$
由于 $\var{\vb{r}} _i(t _1) = \var{\vb{r}} _i(t _2) = 0$，$\eval{\sum _{i=1}^n (m _i\dot{\vb{r}} _i\cdot\var{\vb{r}} _i)} _{t _1}^{t _2} = 0$，于是有
$$
\int _{t _1}^{t _2} (\var T + \sum _{i=1}^n \vb{F} _i \cdot \var{\vb{r}} _i) \dd t = 0
$$
考虑一个完整保守系统，所有的主动力都是保守力，主动力所做的虚功等于势能变分的负值
$$
\sum _{i=1}^n \vb{F} _i \cdot \var{\vb{r}} _i = -\var V
$$
于是
$$
\int _{t _1}^{t _2} (\var T -\var V) \dd t = 0
$$
根据拉格朗日函数的定义 $L = T - V$，上式可化为
$$
\var{\int _{t _1}^{t _2}L\dd t} = 0
$$
$L$ 可以看做 $q,\dot{q},t$ 的函数，定义一个泛函
$$
S = \int _{t _1}^{t _2}L(q,\dot{q},t)\dd t
$$
如果 $S$ 的一次变分 $\var S = 0$，得到的函数 $q(t)$ 描述的即为系统的真实演化过程，这就是哈密顿原理。
利用欧拉-拉格朗日方程，$\var S = 0$ 等价于
$$
\dv{t}(\pdv{L}{\dot{q}}) - \pdv{L}{q} = 0
$$
这正好是拉格朗日方程的表达式，这说明积分形式的哈密顿原理和微分形式的拉格朗日方程是互相等价的。
