物理学中的一切原理可分为两类，一类是变分的，一类是不变分的，比如牛顿第二定律是经典的不变分原理。而变分的原理又可分为微分形式与积分形式，积分形式的数学表达式对应着泛函的极值。在数学中，泛函是指定义在函数空间上的函数，即它将一个函数映射到实数。变分法就是寻找一个函数，使得给定的泛函达到极值的数学方法，用变分法求解最速降线是一个十分经典的应用。

傅里叶变换（Fourier Transform）和拉普拉斯变换（Laplace Transform）都是数学中的积分变换，它们在工程和物理学中有着广泛的应用。傅里叶变换主要用于信号处理领域，特别是在频域分析中。它能够将一个时间域信号转换为频域信号，分解成多个正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频率成分和幅度。这对于理解和处理周期性信号非常有用，例如在音频处理、图像处理和通信系统中。拉普拉斯变换则更多地用于控制系统和电子学领域。它可以将时间域的信号转换为复频域的函数，这使得我们能够对信号进行全面的分析和处理。拉普拉斯变换提供了一种标准方法来求解微分方程、估计系统的稳定性以及设计控制系统。它也常用于处理具有阻尼的系统中的信号，以及在航空航天、汽车工程等领域的建模和分析。简而言之，傅里叶变换适用于频域分析和周期性信号处理，而拉普拉斯变换适用于连续信号的整体分析、微分方程求解和控制系统设计。两者虽然在数学形式上有所不同，但都是强大的工具，用于将复杂的信号转换为更易于分析和处理的形式。

齐次变换矩阵是一种在计算机图形学和机器人技术中常用的工具，它用于描述在三维空间中的线性变换，如旋转、平移和缩放，以及透视变换。这种矩阵通过增加一个额外的维度（通常称为齐次坐标或w坐标），使得能够将多种变换组合成单一的矩阵运算。使用齐次变换矩阵的一个主要优势是能够将多个变换合并为一个操作，这在计算机图形学中非常有用，因为它简化了变换的管理和计算。此外，它也允许通过矩阵乘法来组合变换，这在编程中是非常方便的。

正交矩阵的凯莱公式是一个描述正交矩阵与反对称矩阵之间关系的数学公式，它提供了一种使用较少参数（即反对称矩阵的非零元素）来表示旋转的方法，这比直接使用正交矩阵的九个参数更为高效。这在需要进行大量旋转运算的应用中，如三维图形渲染和机器人臂的运动控制中，可以显著提高计算效率。