在物理学中，寻找最小化原理的兴趣源远流长，第一个最小化原理在公元前二世纪对光的研究中诞生，即一条光线由一点经平面反射到另一点，永远取最短的路径。而哈密顿原理也属于一个“最小化”原理，它通过求解一个由拉格朗日方程构成的作用量泛函的平稳值，就能得到物理系统的运动过程。

1788年，伟大的物理学家拉格朗日发表了名为《分析力学》的著作，全书旨在用分析的方法，不用一张图地处理所有力学问题。相比之下，牛顿力学用向量的方法分析问题，虽然更加直观，但并不能很好地处理非自由系统。一个问题中的约束越多，牛顿力学越繁杂，分析力学反而越简单。如今，分析力学已经形成了一个力学的专门分支，在工程技术、天体力学、理论物理等方面均有应用。本文将从曲线坐标的概念开始，一步步地将拉格朗日方程推导出来。

齐次变换矩阵是一种在计算机图形学和机器人技术中常用的工具，它用于描述在三维空间中的线性变换，如旋转、平移和缩放，以及透视变换。这种矩阵通过增加一个额外的维度（通常称为齐次坐标或w坐标），使得能够将多种变换组合成单一的矩阵运算。使用齐次变换矩阵的一个主要优势是能够将多个变换合并为一个操作，这在计算机图形学中非常有用，因为它简化了变换的管理和计算。此外，它也允许通过矩阵乘法来组合变换，这在编程中是非常方便的。

角速度张量是一个描述物体在二维或三维空间中旋转状态的物理量。它表示物体在不同方向上的旋转速度的大小和方向。在数学上，角速度张量是一个二阶反对称张量，可以通过矢量的叉乘来表示。这种表示形式在物理学和工程学中非常有用，特别是在分析和设计旋转机械和机器人动力学时。

正交矩阵的凯莱公式是一个描述正交矩阵与反对称矩阵之间关系的数学公式，它提供了一种使用较少参数（即反对称矩阵的非零元素）来表示旋转的方法，这比直接使用正交矩阵的九个参数更为高效。这在需要进行大量旋转运算的应用中，如三维图形渲染和机器人臂的运动控制中，可以显著提高计算效率。