在物理学中，寻找最小化原理的兴趣源远流长，第一个最小化原理在公元前二世纪对光的研究中诞生，即一条光线由一点经平面反射到另一点，永远取最短的路径。而哈密顿原理也属于一个“最小化”原理，它通过求解一个由拉格朗日方程构成的作用量泛函的平稳值，就能得到物理系统的运动过程。

物理学中的一切原理可分为两类，一类是变分的，一类是不变分的，比如牛顿第二定律是经典的不变分原理。而变分的原理又可分为微分形式与积分形式，积分形式的数学表达式对应着泛函的极值。在数学中，泛函是指定义在函数空间上的函数，即它将一个函数映射到实数。变分法就是寻找一个函数，使得给定的泛函达到极值的数学方法，用变分法求解最速降线是一个十分经典的应用。

1788年，伟大的物理学家拉格朗日发表了名为《分析力学》的著作，全书旨在用分析的方法，不用一张图地处理所有力学问题。相比之下，牛顿力学用向量的方法分析问题，虽然更加直观，但并不能很好地处理非自由系统。一个问题中的约束越多，牛顿力学越繁杂，分析力学反而越简单。如今，分析力学已经形成了一个力学的专门分支，在工程技术、天体力学、理论物理等方面均有应用。本文将从曲线坐标的概念开始，一步步地将拉格朗日方程推导出来。